Στα μαθηματικά, ο λογάριθμος (στη βάση b) ενός αριθμού x γράφεται logb(x) και ισούται με τον εκθέτη y που ικανοποιεί την εξίσωση x = b^y.

Με άλλα λόγια, η εξίσωση

είναι ισοδύναμη με την εξίσωση

Η βάση b πρέπει να είναι διαφορετική από 0 και 1 (και από τη ρίζα του 1 στην περίπτωση που επεκτείνουμε στους μιγαδικούς αριθμούς, για τον μιγαδικό λογάριθμο), και συνήθως είναι 10, e, ή 2. Όταν το x και το b περιορίζονται να είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, ο λογάριθμος είναι μοναδικός πραγματικός αριθμός.

Για παράδειγμα, αφού

ή, με άλλα λόγια, ο λογάριθμος με βάση 3 του 81 είναι 4.

Ο λογάριθμος ως συνάρτηση

Η συνάρτηση logb(x) εξαρτάται τόσο από το b όσο και από το x, αλλά ο όρος συνάρτηση λογαρίθμου ή λογαριθμική συνάρτηση συνήθως αναφέρεται σε μια συνάρτηση της μορφής logb(x) στην οποία η βάση b είναι σταθερή και το μόνο όρισμα είναι το x. Επομένως, υπάρχει μια συνάρτηση λογαρίθμου για κάθε τιμή της βάσης b (η οποία πρέπει να είναι θετική και διαφορετική του 1). Έτσι, η λογαριθμική συνάρτηση με βάση b είναι η αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης bx. Η λέξη "λογάριθμος" χρησιμοποιείται συχνά τόσο για να αναφορά σε μια λογαριθμική συνάρτηση, όσο και για συγκεκριμένες τιμές της συνάρτησης αυτής.

Ακέραιοι και μη-ακέραιοι εκθέτες

Εαν n είναι ένας θετικός ακέραιος, bn αναπαριστά το γινόμενο n παραγόντων ίσων με b:

Παρ'όλα αυτά, εάν το b είναι θετικός πραγματικός αριθμός διαφορετικός του 1, ο ορισμός μπορεί να επεκταθεί σε κάθε πραγματικό αριθμό n σε ένα πεδίο (δες ύψωση σε εκθέτη). Ομοίως, η λογαριθμική συνάρτηση μπορεί να οριστεί για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό. Για κάθε θετική βάση b διάφορη του 1, υπάρχει μια λογαριθμική συνάρτηση και μια εκθετική συνάρτηση, οι οποοίες είναι αντίστροφες μεταξύ τους.

Οι λογάριθμοι μπορούν να ανάγουν την πράξη του πολλαπλασιασμού σε πρόσθεση, την διαίρεση σε αφαίρεση, την ύψωση σε δύναμη σε πολλαπλασιασμό, και τις ρίζες σε διαίρεση. Επομένως, οι λογάριθμοι είναι χρήσιμοι στο να κάνουν δύσκολους αριθμητικούς υπολογισμούς ευκολότερους, και, πριν την ανακάλυψη των ηλεκτρονικών υπολογιστών, έχαιραν διαδεδομένης χρήσης σε τομείς όπως η αστρονομία, η μηχανική, η ναυσιπλοΐα και η χαρτογραφία. Έχουν σημαντικές μαθηματικές ιδιότητες που χρησιμοποιούνται πολύ ακόμη και σήμερα.

Βάσεις

Οι βάσεις που συνήθως χρησιμοποιούνται σε λογαρίθμους είναι το 10, η μαθηματική σταθερά e ≈ 2.71828... και το 2. Γράφοντας "log" χωρίς βάση (το b λείπει από το logb), συνήθως η βάση εννοείται και γίνεται προφανής από τα συμφραζόμενα:

* φυσικός λογάριθμος (log_e, ln, log, or Ln) στη μαθηματική ανάλυση, τη στατιστική, τα οικονομικά και κάποιους τομείς της μηχανικής.

* απλός λογάριθμος (log₁₀ ή απλά log, ορισμένες φορές και lg) σε κάποιους τομείς της μηχανικής και όταν λογαριθμικοί πίνακες χρησιμοποιούνται για να απλοποιήσουν υπολογισμούς.

* δυαδικός λογάριθμος (log₂, ορισμένες φορές και lg ή lb) στην θεωρία πληροφορίας και μουσικά διαστήματα.

* απροσδιόριστος λογάριθμος όταν η βάση δεν έχει σημασία, π.χ. στη θεωρία πολυπλοκότητας περιγράφοντας την ασυμπτωτική συμπεριφορά αλγορίθμων με το συμβολισμό O.

Για την αποφυγή προβλημάτων, είναι καλή πρακτική να ορίζεται η βάση του λογαρίθμου όταν υπάρχει περίπτωση παρερμηνείας.

Άλλοι συμβολισμοί

Ο συμβολισμός "ln(x)" σημαίνει πάντα loge(x), δηλαδή το φυσικό λογάριθμο του x, αλλά η βάση που εννοείται στο "log(x)" αλλάζει ανάλογα με τη χρήση:

* Οι μαθηματικοί γενικά ερμηνεύουν τόσο το "ln(x)" όσο και το "log(x)" ως loge(x) και γράφουν log10(x)" για να παραστήσουν τον λογάριθμο με βάση 10 του x. Διάφορα βιβλία της μαθηματικής ανάλυσης γράφουν ενίοτε "lg(x)" και εννοούν "log10(x)".

* Πολλοί μηχανικοί, βιολόγοι, αστρονόμοι και άλλοι γράφουν "ln(x)" ή "loge(x)" μόνο όταν εννοούν το φυσικό λογάριθμο του x, και θεωρούν ότι το "log(x)" σημαίνει log10(x) ή, στο πρίσμα της πληροφορικής, log2(x).

* Στις περισσότερες αριθμομηχανές, το πλήκτρο LOG σημαίνει log10(x) και το LN σημαίνει loge(x).

* Στις πιο διαδεδομένες γλώσσες προγραμματισμού υπολογιστών, όπως η C, C++, η Java, η Fortran, η Ruby, και η BASIC, η συνάρτηση "log" επιστρέφει το φυσικό λογάριθμο. Η συνάρτηση με βάση το 10, αν υπάρχει, είναι συνήθως "log10."

* Κάποιοι χρησιμοποιούν Log(x) (κεφαλαίο L) εννοώντας log10(x), και χρησιμοποιούν το log(x) με μικρό l εννοώντας loge(x).

* Ο συμβολισμός Log(x) χρησιμοποιείται ακόμα από μαθηματικούς για να παραστήσει το principal branch της συνάρτησης των φυσικών λογαρίθμων.

* Σε μερικές ευρωπαϊκές χώρες χρησιμοποιείται συχνά ο συμβολισμός blog(x) αντί για logb(x).[1]

Το χάος αυτό, ιστορικά, προέρχεται από το γεγονός ότι ο φυσικός λογάριθμος έχει ωραίες μαθηματικές ιδιότητες (όπως το ότι η παράγωγός του είναι 1/x, και ότι έχει απλό ορισμό), ενώ οι λογάριθμοι με βάση 10, ή δεκαδικοί λογάριθμοι, ήταν χρήσιμοι για να επιταχύνουν υπολογισμούς (τον καιρό που χρησιμοποιούνταν γι αυτό τον λόγο). Έτσι, οι φυσικοί λογάριθμοι χρησιμοποιούνταν ευρέως μόνο σε πεδία όπως η μαθηματική ανάλυση, ενώ οι δεδακικοί λογάριθμοι χρησιμοποιούνταν ευρέως σε άλλους τομείς.

Σχετικά πρόσφατα, το 1984, ο Πωλ Χάλμος στην "αυτομαθογραφία του" Θέλω να γίνω Μαθηματικός εξέφρασε περιφρόνηση σε αυτό που θεωρούσε ως παιδαριώδη συμβολισμό "ln", που όπως είπε κανείς μαθηματικός δεν είχε χρησιμοποιήσει ποτέ. Ο συμβολισμός εφευρέθηκε στην πραγματικότητα το 1893 από τον Ίρβινγκ Στρίνγκχαμ, καθηγητή μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Μπέρκλεϋ. Εως το 2005, πολλοί μαθηματικοί έχουν υιοθετήσει το συμβολισμό "ln", αλλά οι περισσότεροι χρησιμοποιούν το "log".

Στην επιστήμη υπολογιστών, ο λογάριθμος με βάση 2 γράφεται ενίοτε ως lg(x), όπως προτάθηκε από τον Edward Reingold και διαδόθηκε από τον Ντόναλντ Κνουθ. Παρ'όλα αυτά, το lg(x) χρησιμοποιείται επίσης αντί του κοινού λογαρίθμου, και το lb(x) για τον δυαδικό λογάριθμο.[2] Στη Ρώσσικη βιβλιογραφία, ο συμβολισμός lg(x) χρησιμοποιείται επίσης για τον λογάριθμο με βάση 10.[3] Στα Γερμανικά, lg(x) επίσης σημαίνει τον λογάριθμο με βάση 10, ενώ μερικές φορές το ld(x) ή lb(x) χρησιμοποιείται για τον λογάριθμο με βάση 2.

Το Εθνικό Ινστιτούτο Προτύπων και Τεχνολογίας του υπουργείου εμπορίου των Ηνωμένων Πολιτειών συμβουλεύει καθαρά να ακολουθείται το πρότυπο του Διεθνή Οργανισμού Τυποποίησης Μαθηματικά σημεία και σύμβολα για χρήση σε φυσικές επιστήμες και τεχνολογία, ISO 31-11:1992, το οποίο προτείνει τους εξής συμβολισμούς:[4]

* Ο συμβολισμός "ln(x)" σημαίνει log_e(x),

* ο συμβολισμός "lg(x)" σημαίνει log₁₀(x),

* ο συμβολισμός "lb(x)" σημαίνει log₂(x).

Αναφορές

1. ↑ "Mathematisches Lexikon" at Mateh_online.at.

2. ↑ Gullberg, Jan (1997). Mathematics: from the birth of numbers.. W. W. Norton & Co.

3. ↑ "Common Logarithm" at MathWorld.

4. ↑ B. N. Taylor (1995). Guide for the Use of the International System of Units (SI). NIST Special Publication 811, 1995 Edition. US Department of Commerce.

Μαθηματικά

Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License

<@=@=@>