Γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με χωρικές σχέσεις, δηλαδή με τη σύνθεση του χώρου που ζούμε. Εμπειρικά, αλλά και διαισθητικά, οι άνθρωποι χαρακτηρίζουν τον χώρο μέσω συγκεκριμένων θεμελιωδών ιδιοτήτων, που ονομάζονται αξιώματα. Τα αξιώματα δε μπορούν να αποδειχτούν, αλλά μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με μαθηματικούς ορισμούς για τα σημεία, τις ευθείες, τις καμπύλες, τις επιφάνειες και τα στερεά για την εξαγωγή λογικών συμπερασμάτων.
Λόγω των άμεσων πρακτικών της εφαρμογών, η γεωμετρία ήταν ανάμεσα στους πρώτους ιστορικά κλάδους των μαθηματικών, και ο πρώτος που τοποθετήθηκε σε αξιωματική βάση, από τον Ευκλείδη περίπου το 300 π.Χ. με το βιβλίο του "Στοιχεία" που το αποτελούσαν 13 τόμοι. Δικαιολογημένος λοιπόν και ο όρος "Ευκλείδεια γεωμετρία".
Αντικείμενο
Το αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι η μελέτη του χώρου και των σχημάτων, επίπεδων και στερεών που μπορεί να υπάρξουν μέσα σε αυτόν. Γενικότερα στο χώρο διακρίνουμε τα σημεία (χωρίς καμία διάσταση), τις γραμμές (με δύο διαστάσεις) και τις επιφάνειες (με τρεις διαστάσεις). Οι επιφάνειες διαχωρίζουν τα αντικείμενα μεταξύ τους ή απο το περιβάλλον. Πάνω σε μια επιφάνεια μπορούμε να θεωρήσουμε γραμμές, οι οποίες μάλιστα μπορούν να οριοθετηθούν. Στην καθημερινή γλώσσα μιλάμε π.χ. για "γραμμές της ασφάλτου" ή "σιδηροδρομικές γραμμές", ή "ακτοπλοΐκές γραμμές" λαμβάνοντας πάντα υπόψη κάποια αρχή (αφετηρία) και κάποιο τερματικό σημείο. Στην καθημερινή γλώσσα δεχόμαστε τις προσεγγίσεις ενώ στην γεωμετρία οχι. Λειτουργούμε αναγκαστικά πολλές φορές και με αφηρημένες έννοιες που αποκαλούμε άλλοτε "πρωταρχικούς όρους" και άλλοτε "γεωμετρικές προτάσεις".
Έννοιες - προτάσεις
* Πρωταρχικές έννοιες στη Γεωμετρία είναι το σημείο, η ευθεία, η γραμμή, το επίπεδο, η επιφάνεια και βεβαίως ο χώρος.
* Η Γεωμετρία θεμελιώνεται πάνω σε κάποιες προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθινές, και αυτές είναι: το αξίωμα, το αίτημα, το θεώρημα, το λήμμα και το πόρισμα. Βοηθητικές αυτών θεωρούνται η απόδειξη, το πρόβλημα και η λύση. Κάθε πρόταση περιέχει την υπόθεση και το συμπέρασμα, που καταλήγουμε με τη βοήθεια της απόδειξης.
* Η "υπόθεση" και το "συμπέρασμα" λέγονται συνθήκες της πρότασης. Στη Γεωμετρία δύο προτάσεις μπορεί να λέγονται:
Αντίστροφες: όταν κάθε μια έχει ως υπόθεση το συμπέρασμα της άλλης.
Αντίθετες: όταν οι συνθήκες (υπόθεση και συμπέρασμα) της μιας αποτελούν αρνήσεις των συνθηκών της άλλης, και τέλος
Αντιστροφοαντίθετες: όταν κάθε μια έχει ως υπόθεση την άρνηση του συμπεράσματος της άλλης.
* Αν δύο προτάσεις σχετίζονται με μία από τις τρεις προηγούμενες σχέσεις τότε η μία καλείται ευθεία πρόταση και η άλλη "αντίστροφη" ή "αντίθετη" ή "αντιστροφοαντίθετη", αντίστοιχα.
* Δύο αντίστροφες προτάσεις λέγονται και ισοδύναμες όπου η κάθε μια εξ αυτών ονομάζεται αναγκαία και ικανή συνθήκη για την άλλη.
* Κατά την εξέταση των γεωγραφικών σχημάτων η Γεωμετρία διακρίνεται στην Επιπεδομετρία και στη Στερεομετρία.
Ιστορικά η Γεωμετρία ήταν ο πρώτος τεχνικός κλάδος της ανθρώπινης γνώσης που διαμορφώθηκε στο πέρασμα των αιώνων σε επιστήμη, αλλά και για πολλούς αιώνες ο μοναδικός.
Βασικά στοιχεία της ευκλείδειας γεωμετρίας
Η μελέτη της γεωμετρίας, όπως και κάθε αξιωματικής θεωρίας, ξεκινά από πρωταρχικές έννοιες, οι οποίες προκύπτουν εμπειρικά και τις οποίες δεχόμαστε χωρίς περαιτέρω διευκρινίσεις. Επίσης δεχόμαστε ως αρχική την έννοια του ανήκειν, αφού μας ενδιαφέρει να διατυπώνουμε προτάσεις γύρω από "σημεία που ανήκουν σε μια ευθεία" ή για "κύκλους που ανήκουν σε μια σφαίρα" κ.λπ. Τέλος, τα προηγούμενα υπόκεινται σε ορισμένα αξιώματα, δηλαδή σε κάποιες παραδοχές, τις οποίες επίσης δεχόμαστε ως διαισθητικά προφανείς, με βάση την εμπειρία. Χαρακτηριστικά αναφέρονται (αναλυτικότερα) τα Αξιώματα Χίλμπερτ
Βασιζόμενοι σε αυτά, μπορούμε να προχωρήσουμε βήμα-βήμα αποδεικνύοντας όλα τα θεωρήματα της ευκλείδειας γεωμετρίας· κάθε απόδειξη θα στηρίζεται και θα προκύπτει από τα προηγούμενα συμπεράσματα. Η αποδεικτική μέθοδος δε, είναι κατά βάση κατασκευαστική και συνίσταται στη χρήση κανόνα και διαβήτη.
Σημεία που ανήκουν στην ίδια ευθεία λέμε ότι είναι συνευθειακά. Κάθε σημείο Α ευθείας ε χωρίζει την ε σε δύο ημιευθείες, τη μία αντικείμενη της άλλης. Το Α λέγεται αρχή κάθε ημιευθείας. Κάθε ευθεία ε επιπέδου p χωρίζει το p σε δύο αντικείμενα ημιεπίπεδα. Η ε λέγεται ακμή κάθε ημιεπιπέδου.
Ιστορική συμβολή
Ιστορικά η Γεωμετρία ήταν ο πρώτος τεχνικός κλάδος της ανθρώπινης γνώσης που διαμορφώθηκε στο πέρασμα των αιώνων σε επιστήμη, αλλά και για πολλούς αιώνες ο μοναδικός.
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
<@=@=@>